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🧠 信标算法

欢迎来到 Kuqus，在这里，决策快速、直观且科学精准！我们的信标算法通过快速的成对比较彻底改变了偏好排名——就像选择“红烧肉 vs. 寿司”一样。您无需繁琐的列表排名，只需进行简单的选择，我们的算法即可构建出强大的偏好图。通过利用传递归约、反应时间分析和智能评分，Kuqus 以更少的比较次数提供准确的排名，同时优先保护您的隐私。让我们深入了解它的工作原理吧！

📈 偏好背后的科学

信标算法结合了图论、心理物理建模和统计排名，以提供准确高效的偏好排名。以下是详细说明：

成对比较与传递归约

当您选择一个项目（例如 A）优于另一个项目（例如 B）时，算法会将此偏好记录在传递图中。通过使用传递归约，我们推断出间接偏好（例如，A > B 且 B > C 意味着 A > C），从而最大程度地减少所需的比较次数。

比较效率：

对于 $n$ 个项目，一次全面的成对比较需要 $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ 次比较。
信标算法达到：
最佳情况: $n-1$ 次比较（例如，对于 A > B > C 这样的线性顺序）。
平均情况: 对于 $n = 15$ ，约 $\binom{n}{2}$ 的 ~44%（例如，约 ~15-34 次比较而不是 105 次）。
较小集合（例如， $n = 3$ ）：约 $\binom{3}{2} = 2..3$ 次比较的 ~50%。
这种效率是由传递归约图驱动的，它在保留偏好顺序的同时删除了冗余边：

\text{边}(i \to j) \text{ 如果 } i \text{ 直接优于 } j \\ \text{ 且不存在传递路径 } i \to k \to j

Aho, A. V., Garey, M. R., & Ullman, J. D. (1972). The Transitive Reduction of a Directed Graph. SIAM J. on Computing.

偏好评分

收集比较后，算法根据项目在传递图的拓扑排序中的排名来分配分数：

初始评分: 对于排名为 A、B、C 等的 $n$ 个项目（例如，对于 $n = 5$ 的 A > B > C > D > E），分数以固定步长从 100 到 0 分配：
$s_i = 100 \cdot \left(1 - \frac{i-1}{n-1}\right), \quad i = 1, 2, \dots, n$
示例：对于 A、B、C、D、E，分数为 100、75、50、25、0。
末项调整: 如果倒数第二个项目（例如 D）和最后一个项目（例如 E）之间比较的反应时间超过会话的中位反应时间，则最后一个项目的分数将设置为倒数第二个项目分数的一半，以反映隐式偏好：
$s_n = \begin{cases} \frac{s_{n-1}}{2} & \text{如果 } t_{n-1,n} > t_{\text{median}} \\ 0 & \text{否则} \end{cases}$
示例：如果 D 与 E 的反应时间 > 中位数，E 的分数将设置为 $\frac{25}{2} = 12.5$ 。

反应时间与不确定性调整

受 Kiani 等人 (2014) 的启发，我们使用反应时间来调整分数，反映决策的确定性。较长的反应时间表明不确定性较高，从而缩小项目之间的得分差距，以捕捉“艰难选择”。

基于 Weber-Fechner 定律的归一化: 反应时间以对数方式归一化，以反映感知的心理物理缩放（Weber-Fechner 定律），将时间限制在 10,000ms 范围内： $t_{\text{norm}} = \frac{\log(t + c) - \log(t_{\text{min}} + c)}{\log(t_{\text{max}} + c) - \log(t_{\text{min}} + c)}$ 其中：
$t$ : 反应时间（毫秒）
$t_{\text{min}}$ : 反应时间的第 20 百分位数
$t_{\text{max}}$ : 10,000ms
$c = 1.0$ : 常数，用于避免未定义的对数

这种对数变换（与韦伯-费希纳定律对齐）提供了反应时间的缩放表示，其中时间的比例差异（例如，反应时间翻倍）会产生更一致的影响。然后，这个缩放后的时间将用于通过下一步的指数函数推导出确定性分数 ( $w_t$ )。这种组合方法确保：

更快的反应时间（表示高确定性）会导致非常小的惩罚，从而最大程度地减少对所选项目之间得分差距的影响。
较慢的反应时间（表示较低的确定性或更艰难的选择）会导致逐渐增大的惩罚，这将更显著地缩小项目之间的得分差距，以反映增加的决策难度。

确定性分数: 归一化反应时间用于使用指数函数计算确定性分数，反映非线性的不确定性增长：
$w_t = e^{-1.5 \cdot t_{\text{norm}}}$ $\text{惩罚} = 1 - w_t$
分数调整: 对于项目 A（分数 $s_A$ ）被选择优于项目 B（分数 $s_B$ ）的配对，A 的分数将根据惩罚向 B 的分数调整，并带有一个缓冲区以保持顺序：
$s_A' = s_A - \text{惩罚} \cdot s_A$ $s_A' = \max(s_A', s_B + 1.0)$

这确保了 $s_A' > s_B$ ，在保持排名的同时反映决策难度。

Kiani, R., et al. (2014). Choice Certainty Is Informed by Both Evidence and Decision Time. Journal of Neuroscience.

理论支持: 反应时间使用韦伯-费希纳定律进行对数归一化，反映了决策确定性的非线性感知。指数确定性分数 ( $e^{-1.5 \cdot t_{\text{norm}}}$ ) 对快速决策的得分调整很小，而对较慢、不确定的决策则调整更大。虽然史蒂文斯幂定律 ( $t^k$ ) 是一个替代方案，但我们的对数-指数方法是健壮且有心理物理学依据的。

最终缩放

为了确保分数直观易懂，所有分数都进行缩放，使最高分数为 1000：

s_i' = s_i \cdot \frac{1000}{\max(s_1, s_2, \dots, s_n)}

这扩展了分数范围，同时保留了相对差异和排名。

头对头概率

为了显示偏好强度，我们使用布拉德利-特里模型计算头对头概率：

P(A > B) = \frac{s_A}{s_A + s_B}

其中 $s_A$ 和 $s_B$ 是最终调整后的分数。这些概率显示在结果页面上，突出显示一个项目比另一个项目受偏好的程度。

Bradley, R. A., & Terry, M. E. (1952). Rank Analysis of Incomplete Block Designs: I. The Method of Paired Comparisons. Biometrika.

🔁 智能配对选择

算法选择配对以最大程度地减少比较次数，同时最大化信息增益：

优先级: 涉及比较次数较少或传递关系不明确的项目的配对。
传递归约: 跳过已通过传递路径解决的配对（例如，如果 A > B 且 B > C，则跳过 A vs. C）。
随机化: 必要时通过在可行配对中随机选择来确保多样性。

这种方法实现了对数效率，对于 $n = 15$ 的情况，仅需要约 $\binom{n}{2}$ 的 ~44% 的比较次数。

🛑 提前停止以提高效率

当排名稳定时，算法停止，通常在较大集合（ $n = 15$ ）的可能比较次数的 ~44% 之后。通过检查近期比较是否与当前排名一致来评估稳定性，确保效率而不牺牲准确性。

📊 性能基准测试

我们通过数千次模拟严格测试了信标算法，假设真值是项目按字母顺序排名（A > B > C > ...）。每次比较都使用 1000ms 的固定反应时间来模拟最大确定性。

评估指标

我们使用错位率 (MR) 来衡量排名准确性：

\text{MR} = \frac{\sum_{i=1}^n \mathbb{1}_{\sigma(i) \neq k_i}}{n}

其中：

$\sigma(i)$ : 在排序顺序（按分数，降序）中位置 $i$ 的 Key。（注：为清晰起见，将 $i-1$ 更改为 $i$ ，假设位置从 1 开始索引；如果解释中坚持使用 0 开始索引的列表，则保留 $i-1$ ）。
$k_i$ : 位置 $i$ 处的预期 Key（例如，A 在 1，B 在 2）。
$\mathbb{1}$ : 指示函数 (如果 Key 不同则为 1，否则为 0)。

关键性能结果

（基于对 3-15 个项目的数千次模拟）

✅ 完美排名准确性: 我们的算法始终提供100% 正确的排名顺序（错位率为 0%）。这种精确性直接源于用户选择，确保没有任何项目偏离其真实的相对偏好。
⚡ 无与伦比的效率:
- 小集合（例如 3 个项目）：仅需 1-2 次比较即可获得可靠排名，比穷举法减少了惊人的 33-80%。
- 大集合（例如 15 个项目）：仅需 14-51 次比较即可获得准确结果，与传统成对比较方法相比，工作量减少了高达 60%。这种效率意味着您可以通过每个用户显著减少比较次数获得有价值的见解，即使参与调查的用户数量有限（例如，通常只需 1-30 个独立回复就足以揭示给定项目集中的偏好，具体取决于所需的置信度），也能实现更快的反馈循环。
🧭 更深入的洞察: 除了简单的排名，我们的系统还使用反应时间来衡量决策确定性，提供细致的得分（例如，对于接近的偏好，1000 对 740）。
📊 可操作的概率: 头对头概率（通过布拉德利-特里模型）提供清晰、面向市场的偏好强度洞察，非常适合战略决策。

👤 隐私至上：匿名数据

我们优先保护您的隐私，Kuqus 使用：

匿名会话 ID（X-Anonymous-ID），由服务器生成 UUID + IP 位置估算组成，不存储 IP。
无个人画像或隐形跟踪。

我们提供区域洞察或私人问卷仪表板，但不会关联到你的个人数据。

🔒 透明且强大

我们共享信标算法的核心逻辑，但保护关键的实现细节以防止操控。请期待：

没有黑暗模式。
除非明确接受，否则没有追踪 Cookie（请参阅 Cookie 政策）。

我们的使命：提供快速、公平、愉悦的决策工具。

🧪 免责声明 这些指标基于内部模拟，旨在实现真实世界的可靠性，但未经同行评审。如需学术合作，请联系我们。

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